CURSO DE FISICA II: IV. HIDRODINÁMICA

La hidrodinámica estudia la dinámica de fluídos no compresibles. Por extensión, dinámica de fluidos.

Ésta es la dinámica del agua: ya que el prefijo griego “hidro-” significa “agua”. Aun así también incluye el estudio de la de otros fluidos. Para ello se considera entre otras cosas la velocidad, presión, flujo y gasto del fluido.

Las aplicaciones de la hidrodinámica se encuentran en la ingeniería (diseño de canales, construcción de puertos, presas, en la fabricación de barcos, turbinas,etc.).

Las ecuaciones que describen la dinámica de estos fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes. Son la expresión matemática de la conservación de masa y de cantidad de movimiento.

En el caso de fluidos no viscosos, también llamados fluidos coloidales, se reducen a las ecuaciones de Euler. Daniel Bernoulli fue uno de los primeros matemáticos que realizó estudios de hidrodinámica, siendo precisamente él quien dio nombre a esta rama de la física con su obra de 1738, Hydrodynamica.

Características y leyes generales

La hidrodinámica o fluidos en movimientos presenta varias características que pueden ser descritas por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas:

Teorema de Torricelli

Establece que:

"La velocidad de un líquido que fluyendo por un orificio a través de una pared delgada es igual a la velocidad que tendría un cuerpo en caída libre de una altura “h”

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.

A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio.

Matemáticamente:

donde:

es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio
es la velocidad de aproximación o inicial.
es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
es la aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

donde:

$\ V_r$ es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio
$\ C_v$ es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

tomando

\ C_v

V_r = \sqrt{{2\cdot g\cdot h }}

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

Caudal o Gasto

El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido

\Delta{V}

que fluye por unidad de tiempo

\Delta{t}

. Sus unidades en el Sistema Internacional son los m³/s y su expresión matemática:

$G=\frac{\Delta{V}}{\Delta{t}}$

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.

Actividad

Copia del siguiente video los ejercicios que se presentan para calcular el Caudal o Gasto de flujo de un liquido.

Principio de Bernoulli (Teorema General de la Hidrodinámica)

La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaración del principio de la conservación de la energía, para el flujo de fluidos.
El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el término "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presión del líquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor. Este descenso de presión por un estrechamiento de una vía de flujo puede parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presión como una densidad de energía.
En el flujo de alta velocidad a través de un estrechamiento, se debe incrementar la energía cinética, a expensas de la energía de presión.

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito.
donde

P

es la presión hidrostática,

\rho

la densidad,

g

la aceleración de la gravedad,

h

la altura del punto y

v

la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.

Cálculo de Bernoulli

El cálculo en el "mundo real", de la presión en un estrechamiento de un tubo, es dificil de hacer debido a las pérdidas por viscosidad, turbulencia, y presunciones que se deben hacer sobre el perfil de la velocidad (que afectan a la energía cinética calculada).

El modelo de cálculo de aquí, asume un flujo laminar (sin turbulencia), tambien asume que la distancia del diámetro mayor al menor es suficientemente pequeña para despreciar las pérdidas por viscosidad y asume que el perfil de la velocidad sigue el del flujo laminar teórico. En concreto, esta asumiendo que la velocidad de la corriente efectiva es la mitad de la velocidad máxima, y que la densidad media de energía cinética está dada por un tercio de la densidad de energía cinética máxima.

Practica la aplicación de Principio de Bernoulli accesando al siguiente sitio:

CÁLCULO DE BERNOULLI

Ecuación de continuidad

La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es laque establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico:

$G = A_1 v_1 = A_2 v_2$

donde

A

es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y

v

su velocidad media.

Cuando un fluido fluye por un conducto de diámetro variable, su velocidad cambia debido a que la sección transversal varía de una sección del conducto a otra.

En todo fluido incompresible, con flujo estacionario (en régimen laminar), la velocidad de un punto cualquiera de un conducto es inversamente proporcional a la superficie, en ese punto, de la sección transversal de la misma.

La conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A₁ y A₂) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.

Definición de tubo de corriente: superficie formada por las líneas de corriente.

Corolario 2: solo hay flujo de corriente si V es diferente de 0.

La ecuación de continuidad se puede expresar como:

\rho_1 . A_1 . V_1 = \rho_2 . A_2 . V_2

Cuando

\rho_1 = \rho_2

, que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:

\ A_1 . V_1 = A_2 . V_2

o de otra forma:

\ Q_1 = Q_2

(el caudal que entra es igual al que sale)

Donde:

Q = caudal (metro cúbico por segundo; $m^3/s$ )
V = velocidad $(m/s)$
A = area transversal del tubo de corriente o conducto $(m^2)$

Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.

Ejemplo:
Un caudal de agua circula por una tubería de 1 cm de sección interior a una velocidad de 0,5 m/s. Si deseamos que la velocidad de circulación aumente hasta los 1,5 m/s, ¿qué sección ha de tener tubería que conectemos a la anterior?

Aplicando la ecuación de continuidad: